pembuktian trigonometri

Pembuktian

Buktikan bahwa A sin x + B cos x = C dapat dinyatakan dalam K cos (x-α) = C !
Bukti :
Kita ketahui bahwa tan⁡x=A/B






Sehingga :
A sin x + B cos x = √(A^2+B^2 ) sin α . sin x + √(A^2+B^2 ) cos α . cos x
= √(A^2+B^2 ) ( sin x sin α + cos x cos α )
= √(A^2+B^2 ) . cos ( x - α )
= K . cos ( x - α ) { misal : K = √(A^2+B^2 ) }

K . cos ( x - α ) = √(A^2+B^2 ) ( cos x cos α + sin x sin α ) { krn K=√(A^2+B^2 ) }
= √(A^2+B^2 ) ( cos x . B/√(A^2+B^2 ) + sin x . A/√(A^2+B^2 ) )
= √(A^2+B^2 ) . 1/√(A^2+B^2 ) ( cos x . B + sin x . A )
= B . cos x + A . sin x
= A sin x + B cos x

Jadi terbukti bahwa A sin x + B cos x = C dapat dinyatakan K cos (x-α) = C




Apakah A sin x + B cos x = C dapat dinyatakan dalam K sin (x-α) = C ?

Jawab :

A sin x + B cos x = A sin x-(-B cos x)
Misal ; A = cos α
-B = sin α







Sehingga
A sin x-(-B cos x) = Cos α sin x – (sin α cos x)
= sin x cos α – cos x sin α
= sin (x – α)
= 1 . sin (x – α)
Misal ; k = 1
Maka , A sin x + B cos x = k . sin (x – α)

Jadi A sin x + B cos x bisa dinyatakan dalam k . sin (x – α) , jika k=1 ,cos α = A dan sin α = -B


NB: karena nilai cos α bernilai positif dan sin α bernilai negatif maka α berada di kuadrant IV